Question

1．某高校從2016年招收的大一新生中，隨機抽取60名學生，將他們的2016年高考數學成績（滿分150分，成績均不低于90分的整數）分成六段[90，100），[100，110）…[140，150），后得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求圖中實數a的值；
（2）若該校2016年招收的大一新生共有960人，試估計該校招收的大一新生2016年高考數學成績不低于120分的人數；
（3）若用分層抽樣的方法從數學成績在[90，100）與[140，150]兩個分數段內的學生中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至少有1人在分數段[90，100）內的概率．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖能求出a的值．
（2）由頻率分布直方圖能估計該校招收的大一新生2016年高考數學成績不低于120分的人數．
（3）用分層抽樣的方法從數學成績在[90，100）與[140，150]兩個分數段內的學生中抽取一個容量為6的樣本，則數學成績在[90，100）分數段內的學生抽取2人，數學成績在[140，150]分數段內的學生抽取4人，至少有1人在分數段[90，100）內的對立事件是抽到的2人都在分數段[140，150]內，由此利用對立事件概率計算公式能求出至少有1人在分數段[90，100）內的概率．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖得：
（0.005+0.01×2+0.02+0.025+a）×10=1，解得a=0.03（2分）
（2）由頻率分布直方圖估計該校招收的大一新生2015年高考數學成績不低于1（20分）的人數為：（0.03+0.025+0.01）×10×960=624（人）．（4分）
（3）用分層抽樣的方法從數學成績在[90，100）與[140，150]兩個分數段內的學生中抽取一個容量為6的樣本，
∵數學成績在[90，100）分數段內的學生頻率為0.005×10=0.05，
數學成績在[140，150]分數段內的學生頻率為0.010×10=0.10，
∴數學成績在[90，100）分數段內的學生抽取2人，數學成績在[140，150]分數段內的學生抽取4人，
∴將該樣本看成一個總體，從中任取2人，基本事件總數n=15，
至少有1人在分數段[90，100）內的對立事件是抽到的2人都在分數段[140，150]內，
∴至少有1人在分數段[90，100）內的概率：P=$\frac{3}{5}$．（12分）

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意對立事件概率計算公式的合理運用．