Question

9．已知S_n為等比數列{a_n}的前n項和，a₁=2，且a₄-1，a₅，3a₄+1成等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式及S_n；
（2）若b_n=log₂（a_n•a_n+1），${c_n}=\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}$，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設數列{a_n}的公比為q，根據題意數列的公比，利用等比數列的通項公式，即可求解數列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）得出b_n=2n+5，${c_n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+5}-\frac{1}{2n+7}）$，利用等差數列求和公式和裂項求和即可求解數列的和．

解答 解：（1）設數列{a_n}的公比為q，
由題意知3a₄=S₅-S₃=a₄+a₅，∴a₅=2a₄，∴q=2．
∴${a_n}={a_1}•{q^{n-1}}={2^{n+2}}$．
（2）由（1）可得b_n=n+2+n+3=2n+5，${c_n}=\frac{1}{（2n+5）（2n+7）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+5}-\frac{1}{2n+7}）$，
∴數列{c_n}的前n項和T_n=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{7}-\frac{1}{9}）+（\frac{1}{9}-\frac{1}{11}）$+…+$（\frac{1}{2n+5}-\frac{1}{2n+7}）]$=$\frac{n}{14n+49}$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其求和公式、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．