Question

（本小題滿分13分）如圖，多面體ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，正方形ADEF的邊長為2，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝2，CD＝4．

（Ⅰ）求證：BC⊥平面BDE；

（Ⅱ）試在平面CDE上確定點P，使點P到直線DC、DE的距離相等，且AP與平面BEF所成的角等于30°．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題設平面ADEF⊥平面ABCD及正方形ADEF 可知 平面，所以

因此要證BC⊥平面BDE，只要用勾股定理證明即可；也可以利用 兩兩互相垂直建立空間直角坐標系，利用空間向量的數量積證明；

（Ⅱ）利用 兩兩互相垂直建立空間直角坐標系，令 是平面 的一個法向量，則由求出向量的坐標，利用向量的夾角公式列方程求出點 的坐標．

試題解析：

（Ⅰ）解法一：

證明：因為平面 平面 ,

所以 平面 1分

又因為 平面

所以 2分

在直角梯形中

所以， 3分

所以， 4分

又因為

所以 平面． 5分

解法二：

因為平面 平面 ,

所以 平面 1分

所以 兩兩互相垂直

以點 為原點，直線 分別為 軸， 軸， 軸建立如下圖所示的空間直角坐標系

則

2分

所以 3分

所以， 4分

又因為

所以 平面． 5分

（Ⅱ）因為平面 平面 ,

所以 平面

所以 兩兩互相垂直

以點 為原點，直線 分別為 軸， 軸， 軸建立如圖所示的空間直角坐標系

則

6分

設 ，則

令 是平面 的一個法向量，則

所以 ，令 ，得

所以 8分

因為 與平面所成的角等于 ，

所以與所成的角為或

所以 10分

所以

又因為 ，所以 或 11分

當時，（*）式無解

當時，解得： 12分

所以， 或 13分

考點：1、空間直線與平面的位置關系；2、空間向量在立體幾何中的應用．