Question

用部分自然數構造如圖的數表：用a_ij（i≥j）表示第i行第j個數（i，j∈N₊），使得a_i1=a_ii=i，每行中的其他各數分別等于其“肩膀”上的兩個數之和．設第n（n為N₊）行的第二個數為b_n（n≥2），
（1）寫出第6行的第三個數；
（2）寫出b_n+1與b_n的關系并求b_n（n≥2）；
（3）設（b_n-1）c_n=1（n≥2），求證：1≤c₂+c₃+…+c_n＜2．

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：等差數列與等比數列,推理和證明

分析：（1）根據已知中圖象，可得第6行的第三個數．
（2）根據a_i1=a_ii=i，每行中的其他各數分別等于其“肩膀”上的兩個數之和．可得b_n+1=b_n+n，利用．
（3）由（2）可得c_n=

2

n(n-1)

=2（

1

n-1

-

1

n

），結合裂項相消法，可得答案．

解答： 解：（1）由已知中的圖象可得：
第6行的第三個數為25；
（2）由已知得b_n+1=b_n+n，
∴b_n+1-b_n=n，
∴b_n-b_n-1=n-1，
b_n-1-b_n-2=n-2，
…，
b₃-b₂=2，
b₂-b₁=1，
累加得：
b_n-b₁=n-1+n-2+…+2+1=

n(n-1)

2

，
又∵b₁=1，
∴b_n=

n(n-1)

2

+1
證明：（3）∵（b_n-1）c_n=1，即

n(n-1)

2

c_n=1，
∴c_n=

2

n(n-1)

=2（

1

n-1

-

1

n

），
∴c₂+c₃+…+c_n=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

）=2（1-

1

n

），
∵n≥2，
∴0＜

1

n

≤

1

2

，
∴1≤c₂+c₃+…+c_n＜2．

點評：本題考查的知識點是歸納推理，裂項相消法求和，是數列的推理和證明的綜合應用，難度不大，屬于基礎題．