Question

如圖所示，近日我漁船編隊在島A周圍海域作業，在島A的南偏西20°方向有一個海面觀測站B，某時刻觀測站發現有不明船只向我漁船編隊靠近，現測得與B相距31海里的C處有一艘海警船巡航，上級指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小時的速度向島A直線航行以保護我漁船編隊，30分鐘后到達D處，此時觀測站測得B，D間的距離為21海里．
（Ⅰ）求sin∠BDC的值；
（Ⅱ）試問海警船再向前航行多少分鐘方可到島A？

Answer 1

考點：解三角形的實際應用

專題：應用題,解三角形

分析：（Ⅰ）由已知可得 CD=20，△BDC中，根據余弦定理求得 cos∠BDC 的值，再利用同角三角函數的基本關系求得sin∠BDC 的值．
（Ⅱ）由已知可得∠BAD=60°，由此可得sin∠ABD=sin（∠BDC-60°）的值，再由正弦定理求得AD的值，由此求得海警船到達A的時間．

解答： 解：（Ⅰ）由已知可得 CD=40×

1

2

=20，
△BDC中，根據余弦定理求得 cos∠BDC=

212+202-312

2×21×20

=-

1

7

，
∴sin∠BDC=

4 3

7

．
（Ⅱ）由已知可得∠BAD=20°+40°=60°，
∴sin∠ABD=sin（∠BDC-60°）=

4 3

7

×

1

2

-（-

1

7

）×

3

2

=

5 3

14

．
△ABD中，由正弦定理可得AD=

BD×sin∠ABD

sin∠BAD

=

21×sin∠ABD

sin∠BAD

=15，
∴t=

15

40

×60=22.5分鐘．
即海警船再向前航行22.5分鐘即可到達島A．

點評：本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用，同角三角函數的基本關系的應用，兩角和差的正弦公式公式的應用，屬于中檔題．