Question

已知函數f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

（Ⅰ）求f（x）的值域和最小正周期；
（Ⅱ）設α∈（0，π），且f（α）=1，求α的值．

Answer 1

考點：正弦函數的圖象

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）根據正弦函數的性質和周期公式直接即可求解．
（Ⅱ）由已知可得sin（2α-

π

4

）=

2

2

，從而解得2α-

π

4

=2kπ+

π

4

或2α-

π

4

=2kπ+π-

π

4

，k∈Z，由α∈（0，π），即可求α的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

∴T=

2π

2

=π
∵sin（2x-

π

4

）∈[-1，1]
∴

2

2

sin（2x-

π

4

）∈[-

2

2

，

2

2

]
∴

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

∈[

1- 2

2

，

1+ 2

2

]，即f（x）的值域為：[

1- 2

2

，

1+ 2

2

]．
（Ⅱ）∵f（α）=

2

2

sin（2α-

π

4

）+

1

2

=1，
∴sin（2α-

π

4

）=

2

2

∴2α-

π

4

=2kπ+

π

4

或2α-

π

4

=2kπ+π-

π

4

．k∈Z
∵α∈（0，π），
∴可解得：α=

π

4

或

π

2

．

點評：本題主要考查了正弦函數的圖象與性質，解題時注意角的取值范圍，不要丟根，屬于中檔題．