Question

是否存在一個等比數列{a_n}，使其滿足下列三個條件：

(1)a₁＋a₆＝11且a₃a₄＝；

(2)a_n+1＞a_n(n∈N^*)；

(3)至少存在一個m(m∈N^*，m＞4)，使a_m－1，，a_m+1＋依次成等差數列．

若存在，寫出數列{a_n}的通項公式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：假設存在這樣的數列{an}． 　　∵a1＋a6＝11，a1a6＝a3a4＝， 　　∴a1、a6是方程x2－11x＋＝0的兩根，解得x1＝，x2＝． 　　∵an+1＞an(n∈N*)，∴a1＝，a6＝． 　　設公比為q，則a6＝＝q5，于是q＝2． 　　∴an＝×2n－1． 　　由am－1，，am+1＋依次成等差數列，得2＝am－1＋am+1＋， 　　即2×(×2 m－1)2＝××2 m－2＋×2 m＋． 　　解得m＝3． 　　又∵m＞4，∴不存在滿足條件的等比數列． 　　思路解析：由等比數列性質得a1a6＝a3a4＝，結合a1＋a6＝11，可以聯想韋達定理，構造一個一元二次方程求出a1、q．