Question

是否存在一個等比數列{a_n},使其滿足下列三個條件:

(1)a₁+a₆=11且a₃a₄=;

(2)a_n+1＞a_n(n∈N^*);

(3)至少存在一個m(m∈N^*,m＞4),使a_m-1,,a_m+1+依次成等差數列.

若存在,寫出數列的通項公式;若不存在,請說明理由.

Answer 1

∵m＞4,∴不存在滿足條件的等比數列.

解析:

假設存在這樣的數列{a_n}.

∵a₁+a₆=11,a₁a₆=a₃ a₄=,

∴a₁、a₆是方程x²-11x+=0的兩根,解得x₁=,x₂=.

∵a_n+1＞a_n(n∈N^*),∴a₁=,a₆=.

設公比為q,則a₆==q⁵,于是q=2.

∴a_n=×2^n-1.

由a_m-1,,a_m+1+依次成等差數列,得2=a_m-1+a_m+1+,

即2×(×2^m-1)²=××2^m-2+×2^m+.

解得m=3.

又∵m＞4,∴不存在滿足條件的等比數列.