Question

是否存在一個等比數列{a_n}，使其滿足下列三個條件：

(1)a₁＋a₆＝11且；

(2)a_n+1＞a_n(n∈N^*)；

(3)至少存在一個m(m∈N^*，m＞4)，使，a_m²，依次成等差數列．若存在，寫出數列的通項公式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：假設存在這樣的數列{an}． 　　∵a1＋a6＝11，a1a6＝a3a4＝， 　　∴a1，a6是方程x2－11x＋＝0的兩根，解得，． 　　∵an+1＞an(n∈N*)，∴，． 　　設公比為q，則，于是q＝2． 　　∴． 　　由am－1，am2，am+1＋依次成等差數列，得， 　　即． 　　解得m＝3． 　　又∵m＞4，所以不存在滿足條件的等比數列． 　　思路分析：由等比數列性質，得a1a6＝a3a4＝，結合a1＋a6＝11，可以聯想韋達定理，構造一個一元二次方程求出a1，a6．