Question

是否存在一個等比數列{a_n},并且使其滿足下列三個條件:

(1)a₁+a₆=11,且a₃a₄=;

(2)a_n+1＞a_n;

(3)至少存在一個m(m∈N^*,且m＞4),使a_m-1,a_m²,a_m+1+依次成等差數列.若存在,請寫出數列的通項公式;若不存在,請說明理由.

Answer 1

解：假設存在符合條件的等比數列{a_n},

則a₃a₄=a₁a₆=,與a₁+a₆=11聯立,

解得

又∵a _n+1＞a_n,

∴取a₁=,a₆=;

將a₁=,a₆=舍去.

設公比為q,由a₆=a₁q⁵得=q⁵,

解得q=2.

∴a_n=·2^n-1.

又∵a_m-1,a_m²,a_m+1+成等差數列,

∴2a_m²=a_m-1+(a_m+1+),

即2(·2^m-1)²=(·2^m-2)+(·2^m+),

化簡整理,得2^2m-7·2^m-8=0,

即(2^m-8)(2^m+1)=0.

∵2^m+1＞0,

∴2^m-8=0,即2^m=8.

∴m=3,這與條件(3)中的m＞4矛盾.

∴不存在符合題意的等比數列.