Question

S_n為數列b_n的前n項和，且滿足b₁=1，

2bn

bnSn -S 2 n

=1（n≥2）．證明數列{

1

Sn

}成等差數列，并求數列{b_n}的通項公式．

Answer 1

考點：等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：由數列遞推式得到

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

(n≥2)，由此證得數列{

1

Sn

}成等差數列，求其通項公式后可得S_n，再由
b_n=S_n-S_n-1（n≥2）求數列{b_n}的通項公式．

解答： 證明：由

2bn

bnSn -S 2 n

=1（n≥2），得2bn=bnSn-Sn2(n≥2)，
∴2(Sn-Sn-1)=(Sn-Sn-1)Sn-Sn2（n≥2），
即2S_n-1-2S_n=S_n•S_n-1，
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

(n≥2)．
∴數列{

1

Sn

}成以

1

2

為公差的等差數列，
則

1

Sn

=

1

b1

+

1

2

(n-1)=1+

n

2

-

1

2

=

n+1

2

．
∴Sn=

2

n+1

．
當n≥2時，bn=Sn-Sn-1=

2

n+1

-

2

n

=-

2

n(n+1)

．
當n=1時上式不成立．
∴bn=

1，n=1 - 2 n(n+1) ，n≥2

．

點評：本題考查了數列遞推式，考查了等差關系的確定，考查了等差數列的性質，是中檔題．