Question

已知函數f（x）=1+2

3

sinxcosx-2sin²x（x∈R）
（1）求函數f（x）的單調增區間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知a=3，b=

3

，f（A）=1，求角C．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦定理

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用三角函數中的恒等變換應用，化簡可得f（x）=2sin（2x+

π

6

），利用正弦函數的單調性，由不等式2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可求得f（x）的單調增區間；
（2）由f（A）=2sin（2A+

π

6

）=1⇒sin（2A+

π

6

）=

1

2

，A∈（0，π），即可求得A的值，再結合正弦定理可求得B的值，從而可得角C．

解答： 解：f（x）=1+2

3

sinxcosx-2sin²x=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）  
（1）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
∴函數f（x）的單調遞增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z． 

（2）f（A）=1⇒2sin（2A+

π

6

）=1⇒sin（2A+

π

6

）=

1

2

．
∵A∈（0，π），
∴2A+

π

6

∈（

π

6

，

13π

6

），
∴2A+

π

6

=

5π

6

，A=

π

3

，
由正弦定理得sinB=

bsinA

a

=

3 × 3 2

3

=

1

2

．
又b＜a，
∴B∈（0，

π

2

），
∴B=

π

6

． 
故C=π-

π

3

-

π

6

=

π

2

．

點評：本題考查三角函數中的恒等變換應用，考查正弦函數的單調性與特殊角的三角函數值，考查正弦定理的應用，屬于中檔題．