Question

【題目】已知數列中，對任何正整數n都有:

（1）若數列是首項和公差都是1的等差數列，求證：數列是等比數列；

（2）若數列是首項為1的等比數列，數列是否是等差數列？若是請求出通項公式.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當等比數列的公比時，數列是等差數列，其通項公式是；當等比數列的公比不是2時，數列不是等差數列.

【解析】

（1）根據等差數列的性質求得數列的通項公式，代入中，利用錯位相減法，結合數列的項與和的關系求得，進而推斷數列是首項為1，公比為2的等比數列；

（2）設等比數列的公比為，結合首項為1，代入，整理得到，進而求得的表達式，要使是與無關的常數，必須，進而得出結論當等比數列的公比時，數列是等差數列，其通項公式是；當等比數列的公比不是2時，數列不是等差數列.

（1）依題意數列的通項公式是，

故等式即為，

，

兩式相減得，驗證時也成立，

可求得，

所以數列是首項為1，公比為2的等比數列；

（2）設等比數列的公比為，則，

從而有，

，

所以，

，

要使是與無關的常數，必需，

即當等比數列的公比時，數列是等差數列，其通項公式是；

當等比數列的公比不是2時，數列不是等差數列.