Question

【題目】已知，點在第一象限，以為直徑的圓與軸相切，動點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）若曲線在點處的切線的斜率為，直線的斜率為，求滿足的點的個數.

Answer 1

【答案】（1）；（2）2

【解析】

（1）設，利用以為直徑的圓與軸相切列方程可得：，整理可得：，問題得解.

（2）設，利用導數求得：，結合及可得：，構造函數：并利用導數知識可判斷在內有且只有兩個零點，問題得解.

（1）設，

又，則中點坐標為，

因為以為直徑的圓與軸相切，

所以，即，

整理，得的方程為.

（2）由，得，，

設，

則，

由，即，得（*），

令，

由，得，或，

因為當時，，當時，，

所以在上遞減，在上遞增，

又的圖象連續不斷

所以在內有且只有兩個零點，

所以方程（*）有且只有兩個不同的正根，

所以滿足的點的個數為2.