Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是直角梯形，， ，，， 且，，

（1）證明：平面；

（2）求點到平面的距離；

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）取的三等分點，法一，利用線面平行的判定定理證明.法二，利用面面平行判定定理證明；

（2）法一，利用等積轉(zhuǎn)換即，即可求得，法二，利用空間向量法，求點到面的距離.

(1)解法一：取的三等分點，連結，則

又因為，所以且，

因為且，所以且，

四邊形是平行四邊形，

所以，

又平面平面 ，平面 ，

所以平面 .

解法二：取的三等分點，連結，則，

又因為，

所以且，平面 ， 平面，

平面，

因為且，所以且，

四邊形是平行四邊形.

所以，平面，平面，

平面，

又因為，平面，

所以平面平面，

又因為平面，

所以平面.

(2)解法一：設點到平面的距離為.

因為，，所以，

所以，，因為，所以平面，

點平面的距離是，，

，

，

因為，所以，

點到平面的距離為.

解法二：設點到平面的距離為.

因為，，所以

所以，，因為，所以平面，

分別以為軸軸軸，建立空間坐標系，

’，

設平面法向量，

因為，所以，

設與平面所成角為， 則

點到平面的距離，

點到平面的距離為 .