Question

【題目】已知，函數有兩個不同的零點．

（I）證明：；

（Ⅱ）證明：．

Answer 1

【答案】（I）證明見解析（Ⅱ）證明見解析

【解析】

（I）分離參數，構造函數，利用導數討論的單調性以及最值，根據直線與有兩個交點，即可求得參數的范圍；

（Ⅱ）先證明，再證明成立即可.

證明：（I）由，則．

當時，，此時單調遞增；

當時，，此時單調遞減．

因為有兩個不同的零點，故，即.

若，則當時，，此時在上無零點，

在上至多一個零點，與題設矛盾，故.

（Ⅱ）（1）一方面，先證明成立：

設，由（I）可知．

構造函數，

所以．

所以當時，，遞增，

所以，即．

因為，所以，

即．

又因為，且在區間上單調遞減，

所以，即．

（2）另一方面，要證明成立，

只需證明成立，

由知，

故只需證明，即成立

等價于，

因為，所以只需證明，

即成立.

設函數，則，

當時，單調遞減，

于是，故成立

綜上所述：．