【題目】已知函數
．
（1）若
時，直線
與函數
圖象有三個相異的交點，求實數
的取值范圍；
（2）討論
的單調性．
【答案】（1）
；（2）見解析.
【解析】
（1）利用導數分析函數
的單調性與極值，利用數形結合思想可得出實數
的取值范圍；
（2）求得導數
，對實數
分
和
兩種情況討論，分析導數的符號變化，進而可得出函數的單調遞增區間和減區間.
（1）當
時，
，
．
令
，得
或
，當
變化時，
，
的變化情況如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 極小值 |
| 極大值 |
|
所以，函數的單調遞減區間為
和
，單調遞增區間為
.
當時，函數有極小值
；當時，函數有極大值
，如下圖所示：
若直線
與函數圖象有三個相異的交點，則
，
因此，實數的取值范圍為；
（2）
，
．
①當
時，
，
．
令
，得
；令
，得
.
所以，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為
；
②當
時，令，得
或；令，得
.
所以，函數的單調遞增區間為
和，單調遞減區間為
；
③當時，令，得
；令，得或
.
所以，函數的單調遞增區間為
，單調遞減區間為
和
.
綜上所述，
當時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；
當時，函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；
當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為和.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】橢圓的中心在原點，其左焦點
與拋物線
的焦點重合，過的直線
與橢圓交于
、
兩點，與拋物線交于
、
兩點．當直線與
軸垂直時，
．
（1）求橢圓的方程；
（2）求
的最大值和最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設復數β=x+yi（x，y∈R）與復平面上點P（x，y）對應．
（1）若β是關于t的一元二次方程t2﹣2t+m=0（m∈R）的一個虛根，且|β|=2，求實數m的值；
（2）設復數β滿足條件|β+3|+（﹣1）n|β﹣3|=3a+（﹣1）na（其中n∈N*、常數
），當n為奇數時，動點P（x、y）的軌跡為C1．當n為偶數時，動點P（x、y）的軌跡為C2．且兩條曲線都經過點
，求軌跡C1與C2的方程；
（3）在（2）的條件下，軌跡C2上存在點A，使點A與點B（x0，0）（x0＞0）的最小距離不小于
，求實數x0的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，曲線
（
為參數），在以原點
為極點，
軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線
.
（1）寫出
的普通方程和
的直角坐標方程；
（2）設點
在曲線上，點
在曲線上，求
的最小值及此時點的直角坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（
）在
上至少存在兩個不同的
，
滿足
，且
在
上具有單調性，點
和直線
分別為圖象的一個對稱中心和一條對稱軸，則下列命題中正確的是（ ）
A.的最小正周期為
B.
C.在
上是減函數
D.將圖象上每一點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到
的圖象，則
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著“北京八分鐘”在韓國平昌冬奧會驚艷亮相，冬奧會正式進入了北京周期，全社會對冬奧會的熱情空前高漲.
（1）為迎接冬奧會，某社區積極推動冬奧會項目在社區青少年中的普及，并統計了近五年來本社區冬奧項目青少年愛好者的人數
（單位：人）與時間
（單位：年），列表如下：
依據表格給出的數據，是否可用線性回歸模型擬合
與
的關系，請計算相關系數
并加以說明(計算結果精確到0.01).
(若
，則線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合）
附：相關系數公式
，參考數據
.
（2）某冰雪運動用品專營店為吸引廣大冰雪愛好者，特推出兩種促銷方案.
方案一:每滿600元可減100元；
方案二:金額超過600元可抽獎三次，每次中獎的概率同為
，且每次抽獎互不影響，中獎1次打9折，中獎2次打8折，中獎3次打7折. v
兩位顧客都購買了1050元的產品，并且都選擇第二種優惠方案，求至少有一名顧客比選擇方案一更優惠的概率；
②如果你打算購買1000元的冰雪運動用品，請從實際付款金額的數學期望的角度分析應該選擇哪種優惠方案.
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