Question

【題目】橢圓的中心在原點，其左焦點與拋物線的焦點重合，過的直線與橢圓交于、兩點，與拋物線交于、兩點．當直線與軸垂直時，．

（1）求橢圓的方程；

（2）求的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1） （2）最大值；最小值

【解析】

（1）由拋物線方程，得焦點，聯立拋物線方程與直線的方程，得出，根據對稱性以及，得出，從而得出，代入橢圓方程，根據橢圓的性質得出橢圓的方程；

（2）討論直線與軸是否垂直，當直線與軸不垂直時，設出直線方程，并與橢圓聯立，利用韋達定理以及向量的數量積公式，化簡得出，再求最值，即可得出結論.

解：（1）由拋物線方程，得焦點．

設橢圓的方程：．

解方程組得．

由于拋物線、橢圓都關于軸對稱，

∴，，∴．

∴又，

因此，，解得，并推得．

故橢圓的方程為．

（2）由（1）知，

①若垂直于軸，則，

∴

②若與軸不垂直，設直線的斜率為，則直線的方程為

由得

∵，∴方程有兩個不等的實數根．

設．

∴

，則

綜上，

所以當直線垂于軸時，取得最大值

當直線與軸重合時，取得最小值