Question

【題目】有最大值，且最大值大于.

（1）求的取值范圍；

（2）當時，有兩個零點，證明：.

(參考數據：)

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出函數的定義域為，，分和兩種情況討論，分析函數的單調性，求出函數的最大值，即可得出關于實數的不等式，進而可求得實數的取值范圍；

（2）利用導數分析出函數在上遞增，在上遞減，可得出，由，構造函數，證明出，進而得出，再由函數在區間上的單調性可證得結論.

（1）函數的定義域為，且.

當時，對任意的，，

此時函數在上為增函數，函數為最大值；

當時，令，得.

當時，，此時函數單調遞增；

當時，，此時函數單調遞減.

所以，函數在處取得極大值，亦即最大值，

即，解得.

綜上所述，實數的取值范圍是；

（2）當時，，定義域為，

，當時，；當時，.

所以，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

由于函數有兩個零點、且，，

，

構造函數，其中，

，

令，，當時，，

所以，函數在區間上單調遞減，則，則.

所以，函數在區間上單調遞減，

，，

即，即，

，且，而函數在上為減函數，

所以，，因此，.