Question

（本小題滿分14分）已知函數.

（1）若曲線在處的切線為，求的值；

（2）設，，證明：當時，的圖象始終在的圖象的下方；

（3）當時，設，（為自然對數的底數），表示導函數，求證：對于曲線上的不同兩點，，，存在唯一的，使直線的斜率等于．

Answer 1

（1）；（2）見解析；（Ⅲ）見解析

【解析】

試題分析：（1）利用已知條件寫出切線方程為，再與對比系數即可；（2）只需證明當時即可；（Ⅲ）由題意證明即

設只需證明在上滿足即可，，將看作自變量求導易得是的增函數，所以，同理，故

試題解析：（1），此時，又，所以曲線在點處的切線方程為，由題意得，，. 3分

（2）則

在單調遞減，且

當時，即，

當時，的圖像始終在的圖象的下方. 7分

（3） 由題，.

∵，∴，∴，

即， 9分

設,則是關于的一次函數，故要在區間證明存在唯一性，

只需證明在上滿足.下面證明之：

，，

為了判斷的符號，可以分別將看作自變量得到兩個新函數，

討論他們的最值：

，將看作自變量求導得，

是的增函數，

∵，∴； ..11分

同理：

，將看作自變量求導得，是的增函數，

∵，∴；

∴，

∴函數在內有零點， ..13分

又，函數在是增函數，

∴函數在內有唯一零點，從而命題成立. 14分

考點：導數及其綜合應用