Question

4．在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x²+y²-8x+15=0，若直線y=kx-2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由于圓C的方程為（x-4）²+y²=1，由題意可知，只需（x-4）²+y²=1與直線y=kx-2有公共點即可．

解答 解：∵圓C的方程為x²+y²-8x+15=0，整理得：（x-4）²+y²=1，即圓C是以（4，0）為圓心，1為半徑的圓；
又直線y=kx-2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，
∴只需圓C′：（x-4）²+y²=1與直線y=kx-2有公共點即可．
設圓心C（4，0）到直線y=kx-2的距離為d，
則d=$\frac{|4k-2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤2，即3k²-4k≤0，
∴0≤k≤$\frac{4}{3}$
∴k的最大值是$\frac{4}{3}$．
故選B．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，將條件轉化為“（x-4）²+y²=4與直線y=kx-2有公共點”是關鍵，考查學生靈活解決問題的能力，屬于中檔題．