Question

13．平行四邊形ABCD中，AB=3，AD=2，∠BAD=120°，P是平行四邊形ABCD內一點，且AP=1，若$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}$，則3x+2y的最大值為2．

Answer 1

分析 根據$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}$，得出${\overrightarrow{AP}}^{2}$=1，利用基本不等式得出3x+2y的最大值．

解答 解：∵$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}$，
∴${\overrightarrow{AP}}^{2}$=${（x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}）}^{2}$=9x²+4y²+2xy×3×2×（-$\frac{1}{2}$）
=（3x+2y）²-3•3x•2y≥（3x+2y）²-$\frac{3}{4}$×（3x+2y）²
=$\frac{1}{4}$×（3x+2y）²；
又${|\overrightarrow{AP}|}^{2}$=1，
即$\frac{1}{4}$×（3x+2y）²≤1，
所以3x+2y≤2，當且僅當3x=2y，
即x=$\frac{1}{3}$，y=$\frac{1}{2}$時，
3x+2y取得最大值2．
故答案為：2．

點評 本題考查了平面向量的數量積與模長的應用問題，也考查了基本不等式的應用問題，是基礎題目．