Question

18．已知函數f（x）=e^x-$\frac{a}{x}$，a，f（x）為實數．
（1）當a＞0時，求函數f（x）的單調區間；
（2）若f（x）在（0，+∞）上存在極值點，且極值大于ln4+2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導，再根據導數和函數單調性的關系即可求出答案，
（2）設極值點為x₀，則極值為f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-$\frac{a}{{x}_{0}}$，多次構造函數，利用導數和函數的最值得關系即可求出a的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=e^x-$\frac{a}{x}$的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
∴f′（x）=e^x+$\frac{a}{{x}^{2}}$，
∵a＞0，
∴f′（x）=e^x+$\frac{a}{{x}^{2}}$＞0恒成立，
∴f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上單調遞增，
（2）由（1）可知，當a≥0時，f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上單調遞增，函數無極值點，
當a＜0時，
∵f（x）在（0，+∞）上存在極值點，
∴f′（x）=e^x+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}{e}^{x}+a}{{x}^{2}}$
設g（x）=x²e^x+a，
則g′（x）=xe^x（2+x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）上單調遞增，
∴g（x）＞g（0）=a＜0，
設極值點為x₀，則極值為f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-$\frac{a}{{x}_{0}}$，
由g（x₀）=0，得a=-x₀²e${\;}^{{x}_{0}}$．
∴f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-$\frac{a}{{x}_{0}}$=（x₀+1）e${\;}^{{x}_{0}}$．
令h（x）=（x+1）e^x，
∴h′（x）=（x+2）e^x，
∴h（x）在（0，+∞）上單調遞增，
而f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-$\frac{a}{{x}_{0}}$=（x₀+1）e${\;}^{{x}_{0}}$＞ln4+2=2（ln2+1）=（ln2+1）e^ln2，
∴x₀＞ln2，
令φ（x）=-x²e^x，
∴x₀＞ln2時嗎，φ（x）=-xe^x（2+x）＜0，
∴φ（x）單調遞減，
∴a＜-（ln2）²e^ln2=-2ln²2，
∴a的取值范圍為（-∞，-2ln²2）．

點評 本題考查函數單調性與導數間的關系及函數取得極值的條件，考查學生分析問題解決問題的能力，屬于難題