Question

12．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2$\sqrt{3}$cosx，cosx），$\overrightarrow{n}$=（sinx，2cosx）（x∈R），設函數f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-1．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調減區間；
（Ⅱ）已知銳角△ABC的三個內角分別為A，B，C，若f（A）=2，B=$\frac{π}{4}$，邊AB=3，求邊BC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量的數量積公式，結合二倍角、輔助角公式化簡，再求函數f（x）的單調減區間；
（Ⅱ）求出A=$\frac{π}{6}$，C=$\frac{7π}{12}$，利用正弦定理，求出邊BC．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-1=2$\sqrt{3}$cosxsinx+2cos²x-1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
可得函數f（x）的單調減區間[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）；
（Ⅱ）f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=2，∴A=$\frac{π}{6}$，
∵B=$\frac{π}{4}$，∴C=$\frac{7π}{12}$，
∴sin$\frac{7π}{12}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∵AB=3，
∴BC=$\frac{3×\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$=$\frac{3（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}{2}$．

點評 本題考查向量的數量積公式、二倍角、輔助角公式，考查正弦定理的運用，屬于中檔題．