Question

2．對于任何集合S，用|S|表示集合S中的元素個數，用n（S）表示集合S的子集個數．若集合A，B滿足條件：|A|=2017，且n（A）+n（B）=n（A∪B），則|A∩B|等于（　　）

• A． 2017
• B． 2016
• C． 2015
• D． 2014

Answer 1

分析 設|B|=x，|A∪B|=y，由|A|+|B|-|A∩B|=|A∪B|，|A|=2017，可得2017+x-|A∩B|=y，由n（A）+n（B）=n（A∪B），可得2²⁰¹⁷+2^x=2^y，利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：設|B|=x，|A∪B|=y，
∵|A|+|B|-|A∩B|=|A∪B|，|A|=2017，
∴2017+x-|A∩B|=y，
∴|A∩B|=2017+x-y，
∵n（A）+n（B）=n（A∪B），
∴2²⁰¹⁷+2^x=2^y，（*）
∴2^y≥$2\sqrt{{2}^{2017}•{2}^{x}}$=${2}^{1+\frac{2017+x}{2}}$，可得2y≥2019+x，當且僅當x=2017，y=2018時取等號，
此時可得：|A∩B|=2017+x-y=2016．
∴|A∩B|=2016．
故選：B．

點評 本題考查了基本不等式的性質、集合的運算性質、指數的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．