Question

13．已知集合A={x|x²-2x-8＜0}，$B=\left\{{x\left|{\frac{6-x}{x+6}≤0}\right.}\right\}$，C={x|x²-5x-m＜0}，若x∈A∩∁_RB是x∈C的充分條件，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出關于A、B、C的不等式，根據集合的包含關系判斷即可．

解答 解：A={x|x²-2x-8＜0}={x|-2＜x＜4}，
$B=\left\{{x\left|{\frac{6-x}{x+6}≤0}\right.}\right\}$={x|x≥6或x＜-6}，
C={x|x²-5x-m＜0}={x|$\frac{5-\sqrt{25+4m}}{2}$＜x＜$\frac{5+\sqrt{25+4m}}{2}$}，（25+4m＞0），
故A∩∁_RB=A={x|-2＜x＜4}，
若x∈A∩∁_RB是x∈C的充分條件，
即x∈A是x∈C的充分條件，
故$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5-\sqrt{25+4m}}{2}≤-6}\\{\frac{5+\sqrt{25+4m}}{2}≥6}\end{array}\right.$，解得：m≥6．

點評 本題考查了充分必要條件，考查集合的包含關系以及不等式的運算，是一道中檔題．