Question

13．求分別滿足下列條件的橢圓C的標準方程．
（1）過點（3，-2）且與橢圓4x²+9y²=36有相同焦點．
（ 2 ）中心為原點，焦點在x軸上，離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，過F₁的直線交橢圓C于A、B兩點，且△ABF₂的周長為16，求橢圓C的標準方程．

Answer 1

分析 （1）根據已知求出焦點坐標，結合橢圓過點（3，-2），可得答案；
（2）由已知可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，4a=16，進而可得答案．

解答 解：（1）在橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$中c²=a²-b²=9-4=5．
設橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{{a^2}-5}}=1$，代入點（3，-2），即$\frac{9}{a^2}+\frac{4}{{{a^2}-5}}=1$，…（3分）
解得a²=15或3（舍去），
∴橢圓C的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{15}+\frac{{y}^{2}}{10}=1$…（6分）
（2）設橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
據題意e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，4a=16，…（8分）
∴a=4，c=2$\sqrt{2}$，b²=a²-c²=8，
∴橢圓C的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$．…（12分）

點評 本題考查的知識點是橢圓的簡單性質，橢圓的標準方程，難度中檔．