Question

18．現有一半球形原料，若通過切削將該原料加工成一正方體工件，則所得工件體積與原料體積之比的最大值為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{3π}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{6π}$
• C． $\frac{3\sqrt{2}}{8π}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}}{4π}$

Answer 1

分析 設球半徑為R，正方體邊長為a，由題意得當正方體體積最大時：${a}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}$=R²，由此能求出所得工件體積與原料體積之比的最大值．

解答 解：設球半徑為R，正方體邊長為a，
由題意得當正方體體積最大時：${a}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}$=R²，
∴R=$\frac{\sqrt{6}}{2}a$，
∴所得工件體積與原料體積之比的最大值為：
$\frac{{a}^{3}}{\frac{1}{2}×\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{{a}^{3}}{\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3π}$．
故選：A．

點評 本題考查兩個幾何體的體積之比的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．