Question

3．已知函數$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1-a}{2}{x^2}-ax-a，x∈R$，其中a＞0，若函數f（x）在區間（-2，0）內恰有兩個零點，則a的取值范圍是（0，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 先求函數的導函數，找出導函數的零點，把定義域由零點分成幾個區間判斷導函數在各區間內的符號，從而得到原函數在個區間內的單調性；的單調區間，說明函數在區間（-2，-1）內單調遞增，在區間（-1，0）內單調遞減，結合函數零點和方程根的轉化列式可求a的范圍．

解答 解：由函數$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1-a}{2}{x^2}-ax-a，x∈R$，得f′（x）=x²+（1-a）x-a=（x+1）（x-a）
由f′（x）=0，得x₁=-1，x₂=a＞0．
當x∈（-∞，-1）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數，
當x∈（-1，a）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數，
當x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數．
故函數f（x）的增區間是（-∞，-1），（a，+∞）；減區間為（-1，a）．
f（x）在區間（-2，-1）內單調遞增，在區間（-1，0）內單調遞減，
從而函數f（x）在區間（-2，0）內恰有兩個零點當且僅當$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）＜0}\\{f（-1）＞0}\\{f（0）＜0}\end{array}\right.$，
解得0＜a＜$\frac{1}{3}$．
所以a的取值范圍是（0，$\frac{1}{3}$）．
故答案為：$（{0，\frac{1}{3}}）$．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查分類討論的數學思想方法，會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．