Question

13．如圖，四棱錐C-ABB₁A₁內(nèi)接于圓柱OO₁，且A₁A，B₁B都垂直于底面圓O，BC過底面圓心O，M，N分別是棱AA₁，CB₁的中點(diǎn)，MN⊥平面CBB₁．
（1）證明：MN∥平面ABC；
（2）求四棱錐C-ABB₁A₁與圓柱OO₁的體積比．

Answer 1

分析 （1）連接AO，NO，推導(dǎo)出四邊形AMNO是平行四邊形，由此能證明MN∥平面ABC．
（2）設(shè)圓柱底面半徑為r，高為h，則AB=AC=$\sqrt{2}$r，${V}_{C-A{BB}_{1}{A}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{AB{B}_{1}{A}_{1}}$•AC，V_圓柱=S_△ABC•h，由此能求出四棱錐C-ABB₁A₁與圓柱OC₁的體積比．

解答 證明：（1）如圖連接AO，NO，
由O、N分別是BC，B₁C的中點(diǎn)，則ON$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BB₁…（1分）
在圓柱中BB₁⊥平面ABC，AA₁⊥平面ABC，則AA₁$\underset{∥}{=}$BB₁
又M是AA₁的中點(diǎn)，則ON$\underset{∥}{=}$AM，故四邊形AMNO是平行四邊形…（4分）
MN∥AO，又MN?平面ABC，AO?平面ABC，
故MN∥平面ABC…（6分）
解：（2）由題意MN⊥平面CBB₁，MN∥AO，
AO⊥平面CBB₁
又BC?平面CBB₁，則AO⊥BC，在Rt△BAC中，則AB=AC
在△ABC中，AC⊥AB，又AA₁⊥AC，則AC⊥平面ABB₁A₁…（8分）
設(shè)圓柱底面半徑為r，高為h，則AB=AC=$\sqrt{2}$r，
${V}_{C-A{BB}_{1}{A}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{AB{B}_{1}{A}_{1}}$•AC=$\frac{1}{3}×\sqrt{2}r×h×\sqrt{2}r$=$\frac{2}{3}h{r}^{2}$，…（9分）
V_圓柱=S_△ABC•h=πr²•h=πhr²，…（10分）
$\frac{{V}_{C-AB{B}_{1}{A}_{1}}}{{V}_{圓柱}}$=$\frac{\frac{2}{3}h{r}^{2}}{πh{r}^{2}}$=$\frac{2}{3π}$．
故四棱錐C-ABB₁A₁與圓柱OC₁的體積比為2：3π．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查四棱錐與圓柱的體積比的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．