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已知△ABC中，
BC
•
CA
=
CA
•
AB
，|
BA
+
BC
|=2，且B∈[
π
3
，
2π
3
]，則
BC
•
BA
的取值范圍是
 
．
考點：平面向量數量積的運算
專題：平面向量及應用
分析：根據向量的幾何意義和數量積的運算以及，
BC
•
CA
=
CA
•
AB
，得到
CA
⊥
BD
，繼而做出平行線四邊形，得到平行四邊形為菱形，設
BC
與
BA
的夾角為2θ，
表示出|
BC
|=|
BA
|=
1
cosθ
，再根據向量的夾角公式，求表示出
BA
•
BC
=2-
1
cos2θ
，根據函數得單調性，求出范圍即可
解答： 解∵
BC
•
CA
=
CA
•
AB
，
∴
CA
•（
BC
-
AB
）=
CA
•（
BC
+
BA
）=
CA
•
BD
=0，
∴
CA
⊥
BD
，
如圖：分別作
CD
=
BA
，
AD
=
BC
，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∴四邊形ABCD為菱形，
∴|
BD
|=|
BA
+
BC
|=2，
∴|
BE
|=
1
2
|
BD
|=1，
設
BC
與
BA
的夾角為2θ，
則2θ∈[
π
3
，
2π
3
]，
∴θ∈[
π
6
，
π
3
]，
∴cosθ∈[
1
2
，
3
2
]，
∴cos2θ∈[
1
4
，
3
4
]，
∴|
BC
|=|
BA
|=
1
cosθ
，
∵cos2θ=
BA
•
BC
|
BA
||
BC
|
，
∴
BA
•
BC
=cos2θ•
1
cos2θ
=
2cos2θ-1
cos2θ
=2-
1
cos2θ

當cos2θ=
1
4
時，
BA
•
BC
=2-4=-2，
當cos2θ=
3
4
時，
BA
•
BC
=2-
4
3
=
2
3
，
故
BC
•
BA
的取值范圍是[-2，
2
3
]
故答案為：[-2，
2
3
]
點評：本題考查了向量的幾何意義和數量積的運算以及夾角公式，和函數的單調性，關鍵是證明四邊形為菱形，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}的前n項和Sn=2n-1，n=1，2，3，…，那么數列{an}（　　）
A、是等差數列但不是等比數列
B、是等比數列但不是等差數列
C、既是等差數列又是等比數列
D、既不是等差數列也不是等比數列

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知點P（-3，2）在拋物線C：y2=2px（p＞0）的準線上，過點P的直線與拋物線C相切于A，B兩點，則直線AB的斜率為（　　）
A、1
B、
2
C、
3
D、3

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，這個二次函數的方程為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知兩點A（0，1），B（1，0），若直線y=k（x+1）與線段AB總有公共點，則k的取值范圍是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知在△ABC中，若
cosA
a
=
cosB
b
=
cosC
c
，試判斷△ABC的形狀．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設-3π＜α＜-
5
2
π，化簡
1-cos(α-π)
2
的結果是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

化簡：
sin(kπ-a)cos(kπ+a)
sin[(k+1)π+a]cos[(k+1)π+a]
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

sin(α-
π
2
)=（　　）
A、sinαB、-sinα
C、cosαD、-cosα

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