Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且經過點.

求橢圓的標準方程；

設為橢圓的中線，點，過點的動直線交橢圓于另一點，直線上的點滿足，求直線與的交點的軌跡方程.

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）利用橢圓C：的離心率為，且經過點M（2，0），可求橢圓的幾何量，從而可求橢圓方程；

（2）直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理，求得B點坐標，結合求出C的坐標，寫出BD、OC的直線方程，利用消參法求軌跡.

因為橢圓的離心率，且，所以.

又.故橢圓的標準方程為.

設直線的方程為（當存在時，由題意），代入，并整理得.

解得，于是，即.

設，則.

由已知得，得，解得，于是.

又，

由兩點的坐標可得直線的方程為.

又由點坐標可得直線的方程為.

兩式相乘，消去參數得.（如果只求出交點的坐標，此步不得分）

又當不存在時，四點重合，此時也滿足題意.

故直線與的交點的軌跡方程.