Question

已知長方體ABCD-A′B′C′D′中，AB=2

3

，AD=2

3

，AA′=2，求：
（1）BC與A′C′所成的角是多少？
（2）AA′與BC′所成的角是多少？

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：空間位置關系與距離

分析：①長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由A₁C₁∥AC，知∠BCA是BC和A₁C₁所成的角，由此能求出BC和A₁C₁所成的角．
②由AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，B₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁，能求出AA₁和B₁C₁所成的角．

解答： 解：（1）∵BC∥B'C'，
∴∠B'C'A'就是BC與A'C'所成的角；
∵長方體ABCD-A′B′C′D′中，AB=2

3

，AD=2

3

，AA′=2，
∴∠B'C'A'=45°；
∴BC與A′C′所成的角是45°；
（2）∵AA'∥BB'．
∴∠B'BC'就是AA'與BC'所成的角；
∵長方體ABCD-A′B′C′D′中，AB=2

3

，AD=2

3

，AA′=2，
∴tan∠B'BC'=

B′C′

BB′

=

2 3

2

=

3

，
∴∠B'BC'=60°，
∴AA′與BC′所成的角是60°．

點評：本題考查異面直線所成角的大小的求法，關鍵是將空間角轉為平面角解答，注意等價轉化思想的合理運用．