Question

已知函數f（x）=3^x，且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x的定義域為區間[0，1]．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求g（x）的單調區間，確定其增減性并試用定義證明；
（3）求g（x）的值域．

Answer 1

考點：指數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由f（a+2）=18可得3^a+2=18，求得3^a=2，可得g（x）的解析式，
（2）轉化設t=2^x，1≤t≤2，則y=k（t）=t-t²，1≤t≤2，對稱軸t=

1

2

，寫出單調區間，運用定義證明．
（3）根據函數的單調性，求解即可得出值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=3^x，f（a+2）=18，∴3^a+2=18，得3^a=2，
∴g（x）=2^x-4^x，x∈[0，1]．
（2）∵g（x）=2^x-4^x =2^x-（2^x）²，x∈[0，1]，
設t=2^x，1≤t≤2，則y=k（t）=t-t²，1≤t≤2，對稱軸t=

1

2

，
∴t∈[1，2]單調遞減，
∵t=2^x為[0，1]上的增函數，
∴g（x）在[0，1]上為減函數，
證明：∵設0≤x₁＜x₂≤1，1≤t₁＜t₂≤2，t₁-t₂＜0，1-t₁-t₂＜0
∴g（x₁）-g（x₂）=k（t₁）-k（t₂）=（t₁-t₂）（1-t₁-t₂）＞0，
即k（t₁）＞k（t₂），
g（x₁）＞g（x₂），
∴g（x）在[0，1]上為減函數，
（3）∵g（x）=2^x-4^x，x∈[0，1]上為減函數，
∴g（0）=0，g（1）=-2，
∴g（x）的值域：[-2，0]

點評：本題綜合考察了函數的性質，運用求解最大值，最小值，難度不大，容易出錯，做題要認真仔細．