Question

9．已知定義在R上的函數f（x）滿足條件f（x+4）=-f（x），且函數y=f（x+2）是偶函數，當x∈（0，2]時，$f（x）=lnx-ax（{a＞\frac{1}{2}}）$，當x∈[-2，0）時，f（x）的最小值為3，則a的值等于（　�。�

• A． e²
• B． e
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 根據f（x）的對稱性得出f（x）在[-2，0）上的解析式，判斷f（x）在[-2，0）上的單調性，根據最小值列方程解出a．

解答 解：∵f（x+2）是偶函數，∴f（x+2）=f（-x+2），
∴f（x）關于直線x=2對稱，
∴當2≤x＜4時，f（x）=f（4-x）=ln（4-x）-a（4-x）．
∵f（x+4）=-f（x），
∴當-2≤x＜0時，f（x）=-f（x+4）=-ln[4-（x+4）]+a[4-（x+4）]=-ln（-x）-ax，
∴f′（x）=-$\frac{1}{x}$-a，
令f′（x）=0得x=-$\frac{1}{a}$，
∵a$＞\frac{1}{2}$，∴-$\frac{1}{a}$∈（-2，0），
∴當-2≤x＜-$\frac{1}{a}$時，f′（x）＜0，當-$\frac{1}{a}$＜x＜0時，f′（x）＞0，
∴f（x）在[-2，-$\frac{1}{a}$）上單調遞減，在（-$\frac{1}{a}$，0）上單調遞增，
∴當x=-$\frac{1}{a}$時，f（x）取得最小值f（-$\frac{1}{a}$）=-ln$\frac{1}{a}$+1，
∵f（x）在[-2，0）上有最小值3，
∴-ln（$\frac{1}{a}$）+1=3，解得a=e²．
故選A．

點評 本題考查了函數的對稱性應用，函數單調性判斷與最值計算，屬于中檔題．