Question

17．手機完全充滿電量，在開機不使用的狀態下，電池靠自身消耗一直到出現低電量警告之間所能維持的時間稱為手機的待機時間．為了解A，B兩個不同型號手機的待機時間，現從某賣場庫存手機中隨機抽取A，B兩個型號的手機各7臺，在相同條件下進行測試，統計結果如下：

手機編號	1	2	3	4	5	6	7
A型待機時間（h）	120	125	122	124	124	123	123
B型待機時間（h）	118	123	127	120	124	a	b

其中，a，b是正整數，且a＜b
（Ⅰ）該賣場有56臺A型手機，試估計其中待機時間不少于123小時的臺數；
（Ⅱ）從A型號被測試的7臺手機中隨機抽取4臺，記待機時間大于123小時的臺數為X，求X 的分布列；
（Ⅲ）設A，B兩個型號被測試手機待機時間的平均值相等，當B型號被測試手機待機時間的方差最小時，寫出a，b的值（結論不要求證明）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）被檢測的7臺手機中有5臺的待機時間不少于123小時⇒估計56臺A型手機中有$56×\frac{5}{7}=40$臺手機的待機時間不少于123小時．
（II）由表格可知，A型號被測試的7臺手機中待機時間大于123小時的臺數為有3臺，利用超幾何分布概率計算法則，求解概率．
（Ⅲ）由A，B兩個型號被測試手機的待機時間的平均值相等，列方程，求出a，b．

解答 解：（Ⅰ）被檢測的7臺手機中有5臺的待機時間不少于123小時，因此，估計56臺A型手機中有$56×\frac{5}{7}=40$臺手機的待機時間不少于123小時．
（Ⅱ）X可能的取值為0，1，2，3，
$P（X=0）=\frac{1}{C_7^4}=\frac{1}{35}$；$P（X=1）=\frac{C_3^1C_4^3}{C_7^4}=\frac{12}{35}$；$P（X=2）=\frac{C_3^2C_4^2}{C_7^4}=\frac{18}{35}$；$P（X=3）=\frac{C_4^3}{C_7^4}=\frac{4}{35}$．
所以，X 的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{4}{35}$

（Ⅲ）若A，B兩個型號被測試手機的待機時間的平均值相等，當B型號被測試手機的待機時間的方差最小時，a=124，b=125．

點評 本題考查了抽樣方法的基本性質，及古典概型的分布列、期望，屬于基礎題．