Question

15．銳角△ABC中，b=1，c=2，則a取值范圍為（　　）

• A． （1，3）
• B． $（{1，\sqrt{3}}）$
• C． $（{\sqrt{3}，2}）$
• D． $（{\sqrt{3}，\sqrt{5}}）$

Answer 1

分析 根據余弦定理和銳角的余弦函數大于0可求得a的范圍，進而利用兩邊之差小于第三邊，求得a的另一個范圍，最后取交集．

解答 解：∵銳角△ABC中，b=1，c=2，
若a是最大邊，則0＜cosA＜1．
∴$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1+4-{a}^{2}}{4}$＞0，
∴a＜$\sqrt{5}$．
若c是最大邊，必有cosC＞0，
∴$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+1-4}{2×a×1}$＞0，
∴a＞$\sqrt{3}$，
綜上，則a取值范圍為（$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$）．
故選：D．

點評 本題主要考查了余弦定理的運用．余弦定理是揭示三角形邊角關系的重要定理，直接運用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個邊求角的問題．