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9.已知數列{an}的前n項和是Sn,且Sn=2an-n
(Ⅰ)求證:數列{an+1}為等比數列;并求數列{an}的通項公式an
(Ⅱ)數列{bn}滿足bn=$\frac{2n}{{a}_{n}+1}$,求數列{bn}的前n項和Tn;
(Ⅲ)若不等式(-1)nλ<Tn+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$對一切n∈N*恒成立,求λ的取值范圍.

分析 (Ⅰ)當n≥2時,Sn=2an-n,∴sn-1=2an-1-(n-1),兩式相減,即可得數列{an+1}是首項和公比都是2的等比數列,
(Ⅱ)可得bn=$\frac{2n}{{a}_{n}+1}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$,利用錯位相減法求Tn               
(Ⅲ)不等式(-1)nλ<Tn+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$對一切n∈N*恒成立
?不等式(-1)nλ<4-$\frac{2}{{2}^{n-1}}$對一切n∈N*恒成立
由$f(n)=4-\frac{2}{{2}^{n-1}},n∈{N}^{+}$為遞增函數,分n的奇偶討論即可

解答 解:(Ⅰ)證明:當n=1時,s1=2a1-1=a1,∴a1+1=2≠0          …(1分)
當n≥2時,∵Sn=2an-n,∴sn-1=2an-1-(n-1),兩式相減
∴an=2an-2an-1-1,∴an=2an-1+1,∴an+1=2(an-1+1)…(3分)
∴數列{an+1}是首項和公比都是2的等比數列,得an+1=2n⇒an=2n-1…(4分)
(Ⅱ)可得bn=$\frac{2n}{{a}_{n}+1}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$,
Tn=$1×\frac{1}{{2}^{0}}+2×\frac{1}{{2}^{1}}+3×\frac{1}{{2}^{2}}+…+(n-1)\frac{1}{{2}^{n-2}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$ 
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1×$\frac{1}{{2}^{1}}+2×\frac{1}{{2}^{2}}$+…+(n-2)$\frac{1}{{2}^{n-2}}$+(n-1)$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n}}$
,兩式相減得$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{{2}^{0}}+\frac{1}{{2}^{1}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}-n×\frac{1}{{2}^{n}}$=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$
∴${T}_{n}=4-\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$                               …(8分)
(Ⅲ)不等式(-1)nλ<Tn+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$對一切n∈N*恒成立
?不等式(-1)nλ<4-$\frac{2}{{2}^{n-1}}$對一切n∈N*恒成立
由$f(n)=4-\frac{2}{{2}^{n-1}},n∈{N}^{+}$為遞增函數.…(9分)
若n為偶數,則λ<f(2)=3,∴λ<3                …(10分)
若n為奇數,則-λ<f(1)=2,∴-λ<2,λ>-2   …(11分)
∴-2<λ<3                                    …(12分)

點評 本題考查了數列的遞推式、等比數列的判定、錯位相減法求和、數列的單調性,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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