分析 (Ⅰ)當n≥2時,Sn=2an-n,∴sn-1=2an-1-(n-1),兩式相減,即可得數列{an+1}是首項和公比都是2的等比數列,
(Ⅱ)可得bn=$\frac{2n}{{a}_{n}+1}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$,利用錯位相減法求Tn
(Ⅲ)不等式(-1)nλ<Tn+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$對一切n∈N*恒成立
?不等式(-1)nλ<4-$\frac{2}{{2}^{n-1}}$對一切n∈N*恒成立
由$f(n)=4-\frac{2}{{2}^{n-1}},n∈{N}^{+}$為遞增函數,分n的奇偶討論即可
解答 解:(Ⅰ)證明:當n=1時,s1=2a1-1=a1,∴a1+1=2≠0 …(1分)
當n≥2時,∵Sn=2an-n,∴sn-1=2an-1-(n-1),兩式相減
∴an=2an-2an-1-1,∴an=2an-1+1,∴an+1=2(an-1+1)…(3分)
∴數列{an+1}是首項和公比都是2的等比數列,得an+1=2n⇒an=2n-1…(4分)
(Ⅱ)可得bn=$\frac{2n}{{a}_{n}+1}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$,
Tn=$1×\frac{1}{{2}^{0}}+2×\frac{1}{{2}^{1}}+3×\frac{1}{{2}^{2}}+…+(n-1)\frac{1}{{2}^{n-2}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1×$\frac{1}{{2}^{1}}+2×\frac{1}{{2}^{2}}$+…+(n-2)$\frac{1}{{2}^{n-2}}$+(n-1)$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n}}$
,兩式相減得$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{{2}^{0}}+\frac{1}{{2}^{1}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}-n×\frac{1}{{2}^{n}}$=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$
∴${T}_{n}=4-\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$ …(8分)
(Ⅲ)不等式(-1)nλ<Tn+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$對一切n∈N*恒成立
?不等式(-1)nλ<4-$\frac{2}{{2}^{n-1}}$對一切n∈N*恒成立
由$f(n)=4-\frac{2}{{2}^{n-1}},n∈{N}^{+}$為遞增函數.…(9分)
若n為偶數,則λ<f(2)=3,∴λ<3 …(10分)
若n為奇數,則-λ<f(1)=2,∴-λ<2,λ>-2 …(11分)
∴-2<λ<3 …(12分)
點評 本題考查了數列的遞推式、等比數列的判定、錯位相減法求和、數列的單調性,屬于中檔題.
科目:高中數學 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | 兩個面平行,其余各面都是平行四邊形所圍成的幾何體一定是棱柱 | |
B. | 若△ABC中,$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$<0,則△ABC是鈍角三角形 | |
C. | 函數f(x)=x+$\frac{4}{x-1}$(x>1)的最小值為5 | |
D. | 若G2=ab,則G是a,b的等比中項 |
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | 150° | B. | 135° | C. | 300° | D. | 60° |
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com