Question

18．如圖所示的幾何體P-ABCD中，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，AB=a，$PB=\sqrt{3}a$，PB⊥AB，平面ABCD⊥平面PAB，AC∩BD=O，E為PD的中點，G為平面PAB內任一點．
（1）在平面PAB內，過G點是否存在直線l使OE∥l？如果不存在，請說明理由，如果存在，請說明作法；
（2）過A，C，E三點的平面將幾何體P-ABCD截去三棱錐D-AEC，求剩余幾何體AECBP的體積．

Answer 1

分析 （1）由題可知O為BD的中點，又E為PD的中點，可得OE∥PB．若點G在直線PB上，則直線PB即為所求作直線l，有OE∥l；若點G不在直線PB上，在平面PAB內，過點G作直線l，使l∥PB，由平行公理可得OE∥l，即過G點存在直線l使OE∥l；
（2）連接EA，EC，則平面ACE將幾何體分成兩部分，利用等積法求出V_D-AEC=V_E-ACD=$\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•EO$=$\frac{1}{4}{V_{P-ABCD}}=\frac{1}{8}{a^3}$，再由V_P-ABCD-V_D-EAC求得何體AECBP的體積．

解答 解：（1）過G點存在直線l使OE∥l，理由如下：
由題可知O為BD的中點，又E為PD的中點，
∴在△PBD中，有OE∥PB．
若點G在直線PB上，則直線PB即為所求作直線l，
∴OE∥l；
若點G不在直線PB上，在平面PAB內，
過點G作直線l，使l∥PB，
又OE∥PB，∴OE∥l，
即過G點存在直線l使OE∥l；
（2）連接EA，EC，則平面ACE將幾何體分成兩部分：
三棱錐D-AEC與幾何體AECBP（如圖所示）．
∵平面ABCD⊥平面PAB，且交線為AB，
又PB⊥AB，∴PB⊥平面ABCD．
故PB為幾何體P-ABCD的高．
又四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，AB=a，$PB=\sqrt{3}a$，
∴S_{四邊形ABCD}=2×$\frac{{\sqrt{3}}}{4}{a^2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}{a^2}$，
∴${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}{S_{四邊形ABCD}}•PB$=$\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}{a^2}×\sqrt{3}a=\frac{1}{2}{a^3}$．
又OE∥PB，OE=$\frac{1}{2}PB$，∴OE⊥平面ACD，
∴V_D-AEC=V_E-ACD=$\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•EO$=$\frac{1}{4}{V_{P-ABCD}}=\frac{1}{8}{a^3}$，
∴幾何體AECBP的體積V=V_P-ABCD-V_D-EAC=$\frac{1}{2}{a^3}-\frac{1}{8}{a^3}=\frac{3}{8}{a^3}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的性質，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．