Question

11．已知（$\root{3}{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）ⁿ（n∈N^*）的展開式中前三項的系數成等差數列．
（1）求展開式中二項式系數最大的項；
（2）求展開式中的有理項．

Answer 1

分析 （1）根據二項式展開式中前三項的系數成等差數列求出n的值，
再利用展開式的通項公式求出二項式系數最大項；
（2）根據展開式中字母的指數為整數，求出展開式中的有理項．

解答 解：（$\root{3}{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）ⁿ（n∈N^*）的展開式中前三項的系數成等差數列，
即$C_n^0$，$C_n^1•\frac{1}{2}$，$C_n^2•{（\frac{1}{2}）^2}$成等差數列，
∴$C_n^1=C_n^0+\frac{1}{4}C_n^2$，
解得n=8；
（1）（$\root{3}{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）⁸展開式的通項公式為
T_r+1=${C}_{8}^{r}$•${（\root{3}{x}）}^{8-r}$•${（\frac{1}{2\sqrt{x}}）}^{r}$
=${C}_{8}^{r}$•${（\frac{1}{2}）}^{r}$•${x}^{\frac{16-5r}{6}}$（其中r=0，1，2，…，8），
二項式系數最大項為${T_5}=\frac{35}{8}•{x^{-\frac{2}{3}}}$；
（2）由$\frac{16-5r}{6}$為整數，知r=2或8，
∴展開式中有理項為T₃=7x，
${T_9}=\frac{1}{{256{x^4}}}$．

點評 本題考查了二項式定理的應用問題，也考查了等差數列的應用問題，是中檔題．