Question

已知圓C過點P（1，1），且與圓M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）關于直線x+y+2=0對稱．若Q為圓C上的一個動點，則

PQ

•

MQ

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：向量在幾何中的應用

專題：直線與圓

分析：設圓心C（a，b），利用圓心關于直線對稱，得到a，b的方程組解之，然后得到C的方程，利用圓的參數方程建立關于α的解析式，借助于正弦函數的有界性求最小值．

解答： 解：設圓心C（a，b），則

a-2 2 + b-2 2 +2=0 b+2 a+2 =1

，解得

a=0 b=0

，則圓C的方程為x²+y²=r²，將點P的坐標代入得r²=2，故圓C的方程為x²+y²=2，
設Q（x，y），則x²+y²=2，
且

PQ

•

MQ

=（x-1，y-1）（x+2，y+2）=x²+y²+x+y-4=x+y-2，
令x=

2

cosα，y=

2

sinα，則x+y=2sin（α+

π

4

）≥-2
所以

PQ

•

MQ

=x+y-2≥-4，則

PQ

•

MQ

的最小值為-4；

點評：本題考查了關于直線對稱的圓的方程的確定以及考查兩個向量的數量積公式的應用，直線與圓的位置關系的應用，屬于中檔題．