Question

8．設函數$f（x）=\frac{e^x}{x-1}$．
（I）求函數f（x）的單調區間；
（II）若當x≥2時，f'（x）≥af（x）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求函數的定義域，再求導，根據導數判斷單調性；（Ⅱ）對于恒成立的問題，轉化為求關于參數的最值問題．

解答 解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域是（-∞，1）∪（1，+∞），
f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{{（x-1）}^{2}}$，
由f′（x）＞0，解得：x＞2，由f′（x）＜0，解得：x＜2且x≠1，
故f（x）在（2，+∞）遞增，在（-∞，1），（1，2）遞減；
（Ⅱ）由題意得：x≥2時，$\frac{{e}^{x}（x-2）}{{（x-1）}^{2}}$≥$\frac{{ae}^{x}}{x-1}$恒成立，
即x-2≥a（x-1）恒成立，解得：a≤$\frac{x-2}{x-1}$，
令g（x）=$\frac{x-2}{x-1}$，（x≥2），則g′（x）=$\frac{1}{{（x-1）}^{2}}$＞0，
故g（x）在[2，+∞）遞增，
故g（x）≥g（2）=0，
故a的范圍是（-∞，0]．

點評 本題考查函數恒成立問題，著重考查等價轉化思想與構造函數思想、考查基本不等式的應用與運算求解能力，屬于中檔題．