Question

【題目】已知函數f（x）=x3+x﹣16．
（1）求曲線y=f（x）在點（2，﹣6）處的切線方程；
（2）直線l為曲線y=f（x）的切線，且經過原點，求直線l的方程及切點坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f'（x）=（x3+x﹣16）'=3x2+1，

∴在點（2，﹣6）處的切線的斜率k=f′（2）=3×22+1=13，

∴切線的方程為y=13x﹣32

（2）解：設切點為（x0，y0），則直線l的斜率為f'（x0）=3x02+1，

∴直線l的方程為y=（3x02+1）（x﹣x0）+x03+x0﹣16．

又∵直線l過點（0，0），∴0=（3x02+1）（﹣x0）+x03+x0﹣16，

整理，得x03=﹣8，∴x0=﹣2，∴y0=（﹣2）3+（﹣2）﹣16=﹣26，直線l的斜率k=3×（﹣2）2+1=13，

∴直線l的方程為y=13x，切點坐標為（﹣2，﹣26）

【解析】（1）先求出函數的導函數，再求出函數在（2，﹣6）處的導數即斜率，易求切線方程．（2）設切點為（x0 ， y0），則直線l的斜率為f'（x0）=3x02+1，從而求得直線l的方程，有條件直線1過原點可求解切點坐標，進而可得直線1的方程．
【考點精析】利用點斜式方程對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直線的點斜式方程：直線經過點，且斜率為則：．