Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PB⊥AC，AD⊥CD，且AD=CD=2 ，PA=2，點(diǎn)M在線段PD上． （Ⅰ）求證：AB⊥平面PAC；
（Ⅱ）若二面角M﹣AC﹣D的大小為45°，試確定點(diǎn)M的位置．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AC，AB平面ABCD， 所以 PA⊥AC，PA⊥AB，
又因?yàn)镻B⊥AC，PA⊥AC，PA，PB平面PAB，PA∩PB=P，
所以AC⊥平面PAB，
又因?yàn)锳C⊥平面PAB，AB平面PAB，
所以AC⊥AB，
因?yàn)锳C⊥AB，PA⊥AB，PA，AC平面PAC，PA∩AC=A，
所以AB⊥平面PAC．
（Ⅱ）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，又由（Ⅰ）知BA⊥AC，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz．

則A（0，0，0），C（0，4，0），D（﹣2，2，0），P（0，0，2）， ， ，
設(shè)M（x，y，z）， ，則（x，y，z﹣2）=t（﹣2，2，﹣2），
故點(diǎn)M坐標(biāo)為（﹣2t，2t，2﹣2t）， ，
設(shè)平面MAC的法向量為 =（x，y，z），則 ，
所以 ，
令z=1，則 =（ ）．
又平面ACD的法向量 =（0，0，1），
所以cos45°= = ，解得t= ，
故點(diǎn)M為線段PD的中點(diǎn)．
【解析】（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出PA⊥AC，PA⊥AB，從而得到AC⊥平面PAB，由此能證明AB⊥平面PAC．（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，利用向量法能證明點(diǎn)M為線段PD的中點(diǎn)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能正確解答此題．