Question

17．設函數f（x）=x³-3x²-ax+5-a，若存在唯一的正整數x₀，使得f（x₀）＜0，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{3}$）
• B． （$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{4}$]
• C． （$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{2}$]
• D． （$\frac{5}{4}$，$\frac{3}{2}$]

Answer 1

分析 設g（x）=x³-3x²+5，h（x）=a（x+1），在同一個坐標系中畫出它們的圖象，結合圖象找出滿足條件的不等式組解之即可．

解答 解：設g（x）=x³-3x²+5，h（x）=a（x+1），
兩個函數圖象如圖：要使存在唯一的正整數x₀，
使得f（x₀）＜0，只要$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥h（1）}\\{g（2）＜h（2）}\\{g（3）≥h（3）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1-3+5≥2a}\\{8-12+5＜3a}\\{27-27+5≥4a}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{3}$＜a$≤\frac{5}{4}$；
故選B．

點評 本題考查了函數圖象以及不等式整數解問題；關鍵是將問題轉化為兩個函數圖象交點問題；屬于難題．