Question

直線l：y=kx+1（k∈R）與橢圓C：

x2

4

+

y2

2

=1相交于A，B兩點，分別在下列條件求直線l的方程：
①使|AB|=

2

②使線段AB被點M（

1

2

，

1

2

）平分 
③使AB為直徑的圓過原點 
④直線l和y軸交于點P，使

PA

=-

1

2

PB

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：①根據弦長公式可求得；
②利用點差法求得直線的方程；
③以AB為直徑的圓過原點，可得OA⊥OB，然后求直線的方程；
④根據向量尋求兩點的坐標的關系代入橢圓方程求其坐標，然后求直線的方程．

解答： 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線l：y=kx+1（k∈R）與橢圓C：

x2

4

+

y2

2

=1聯立得：（1+2k²）x²-4kx-2=0，

x1+x2= 4k 1+2k2 x1x2=- 2 1+2k2

，
①|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

，
=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

( 4k 1+2k2 )2-4 -2 1+2k2

=

2

，
解得：k=0，
∴使|AB|=

2

的直線方程是：y=1；
②∵A，B在橢圓上，
∴

x12 4 + y12 2 =1 x22 4 + y22 2 =1

，
∴

(x1+x2)(x1-x2)

4

-

(y1-y2)(y1+y2)

2

=0，
又線段AB被點M（

1

2

，

1

2

）平分，
∴

x1+x2

2

=

1

2

，

y1+y2

2

=

1

2

，
∴

y1-y2

x1-x2

=

1

2

，
∴使線段AB被點M（

1

2

，

1

2

）平分的直線方程是：2x-4y+1=0； 
③∵以AB為直徑的圓過原點 
∴OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵

x1+x2= 4k 1+2k2 x1x2=- 2 1+2k2

，
∴y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=

1+4k2

1+2k2

，
∴

1+4k2

1+2k2

+

-2

1+2k2

=0，
解得：k=±

1

2

，
故直線方程為：y=±

1

2

x+1，即x+2y-2=0或x-2y+2=0；
④∵

PA

=-

1

2

PB

，
∴（x₁，y₁-1）=（-

1

2

x2，-

1

2

（y₁-1）），
∴

x2=-2x1 y2=3-2y1

代入橢圓方程可得：

x1=± 14 4 y1= 5 4

，
又直線過點P（0，1），
故可得直線方程為：y=±

14

14

x+1，即：

14

x-14y+14=0或

14

x+14y-14=0

點評：本題主要考查弦長公式、點差法、點的坐標之間的關系，屬于中檔題．