Question

如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側面

底面，且，、分別為、的中點.

（1）求證：平面；

（2）求證：面平面；

（3）在線段上是否存在點，使得二面角的余弦值為？說明理由.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）線段上存在點，使得二面角的余弦值為.

【解析】

試題分析：（1）連接經過點，利用中位線得到，再由直線與平面平行的判定定理得到

平面；（2）利用平面與平面垂直的性質定理結合側面底面得到平面，從而得到，再由勾股定理證明，結合直線與平面垂直的判定定理證明平面，最后利用平面與平面垂直的判定定理得到平面平面；（3）取的中點，連接、，

利用平面與平面垂直的性質定理證明平面，然后以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法解決題中二面角問題.

（1）證明：連接，由正方形性質可知，與相交于的中點，

也為中點，為中點.

所以在中，，

又平面，平面，

所以平面；

（2）證明：因為平面平面，平面面

為正方形，，平面，所以平面.

又平面，所以.

又，所以是等腰直角三角形，且，即.

又，且、面，所以面.

又面，所以面面；

（3）取的中點，連接、，因為，所以.

又側面底面，平面平面，所以平面.

而、分別為、的中點，所以，

又是正方形，故.

以為原點,建立空間直角坐標系，

則有，，，，，

若在上存在點，使得二面角的余弦值為，連接、，

設，

則，，由（2）知平面的法向量為，

設平面的法向量為.則，即，解得，

令，得，

所以，解得（舍去）.

所以，線段上存在點，使得二面角的余弦值為.

考點：1.直線與平面平行；2.平面與平面垂直的性質與判定；3.利用空間向量法處理二面角