Question

已知點在拋物線上，直線（，且）與拋物線，相交于、兩點，直線、分別交直線于點、.

（1）求的值；

（2）若，求直線的方程；

（3）試判斷以線段為直徑的圓是否恒過兩個定點？若是，求這兩個定點的坐標；若不是，說明理由.

 

Answer 1

（1）；（2）或；（3）存在，且兩個定點坐標為和.

【解析】

試題分析：（1）將點代入拋物線的方程即可求出的值；（2）解法1是先設點、的坐標分別為、，將直線的方程與拋物線的方程聯立求出、的坐標，并求出、的直線方程，與直線的方程聯立求出、的坐標，利用兩點間的距離公式列等式求出的值，從而求出直線的方程；解法2是設直線的方程為，點的坐標為，分別將直線的方程與拋物線和直線的方程求出點、的坐標，然后設直線的方程為，利用同樣的方法求出點、的坐標，利用點、都在直線上，結合兩點連線的斜率等于值以及點在直線得到、與之間的等量關系，然后再利用兩點間的距離公式列等式求出的值，從而求出直線的方程；（3）解法1是求出線段的中點的坐標，然后寫出以為直徑的圓的方程，結合韋達定理進行化簡，根據方程的結構特點求出定點的坐標；解法2是設為以為直徑的圓上的一點，由得到以為直徑的圓的方程，然后圓的方程的結構特點求出定點的坐標.

試題解析：（1）點在拋物線上，.

第（2）、（3）問提供以下兩種解法：

解法1：（2）由（1）得拋物線的方程為.

設點、的坐標分別為、，依題意，，，

由消去得，

解得.

，，

直線的斜率，

故直線的方程為.

令，得，點的坐標為.

同理可得點的坐標為.

.

，.

由，得，

解得,或，

直線的方程為，或.

（3）設線段的中點坐標為，

則

.

而，

以線段為直徑的圓的方程為.

展開得.

令，得，解得或.

以線段為直徑的圓恒過兩個定點、.

解法2：（2）由（1）得拋物線的方程為.

設直線的方程為，點的坐標為，

由解得

點的坐標為.

由，消去，得，

即，解得或.

，.

點的坐標為.

同理，設直線的方程為，

則點的坐標為，點的坐標為.

點、在直線上，

.

. 5分

又，得，

化簡得.

，

，.

.

由，

得，

解得.

直線的方程為，或.

（3）設點是以線段為直徑的圓上任意一點，

則，

得，

整理得，.

令，得，解得或.

以線段為直徑的圓恒過兩個定點、.

考點：1.拋物線的方程；2.直線與拋物線的位置關系；3.兩點間的距離；4.韋達定理