Question

已知點P（2，-3）在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，且橢圓一個頂點坐標為（0，2

3

）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點E（0，-4）的直線l交橢圓于點R、T，且滿足

OR

•

OT

=8，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：b=2

3

，再點P（2，-3）代入橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)即可得到a．
（2）當直線l的斜率不存在時，不符合題意．可知直線l的斜率存在，設為k，則直線l的方程為：y=kx-4．與橢圓的方程聯立可得到△＞0及根與系數的關系，再利用設R（x₁，y₁），T（x₂，y₂），利用

OR

•

OT

=8?x₁x₂+y₁y₂=8，解得k即可．

解答：解：（1）由題意可得：b=2

3

，
∵點P（2，-3）在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，
∴

22

a2

+

(-3)2

(2 3 )2

=1，
解得a=4，
∴橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）當直線l的斜率不存在時，不符合題意．
可知直線l的斜率存在，設為k，則直線l的方程為：y=kx-4．
由

y=kx-4 x2 16 + y2 12 =1

可得：（3+4k²）x²-32kx+16=0，
由△=（-32k）²-4（3+4k²）×16＞0，解得k²＞

1

4

，
設R（x₁，y₁），T（x₂，y₂），
則x1+x2=

32k

3+4k2

，x1x2=

16

3+4k2

．
∴y₁y₂=（kx₁-4）（kx₂-4）=k²x₁x₂-4k（x₁+x₂）+16，
∵

OR

•

OT

=8，∴x₁x₂+y₁y₂=8，
∴(1+k2)×

16

3+4k2

-4k×

32k

3+4k2

+16=8，
化為k²=

5

2

＞

1

4

，解得k=±

10

2

，
∴直線l的方程為：y=±

10

2

x-4．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立可得△＞0及根與系數的關系、向量垂直與數量積的關系等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．