Question

如下圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長(zhǎng)方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長(zhǎng)度為a米，高度為b米.已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積成反比.現(xiàn)有制箱材料60平方米，問當(dāng)a、b各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小(A、B孔的面積忽略不計(jì))？

Answer 1

解：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，則y=，其中k＞0為比例系數(shù).

依題意，即所求的a、b值使y值最小.

根據(jù)題設(shè)，有4b+2ab+2a=60(a＞0,b＞0)

得b=(0＜a＜30),

于是y=

∵y′=

=0時(shí)，a=6或a=-10(舍去).

由于本題只有一個(gè)極值點(diǎn)，故當(dāng)a=6時(shí)，b=3時(shí)為所求.